この時点で、失業保険の受給資格があるとします。空白期間というのは給付制限期間といいます。

退職することについての質問なんですが、正社員が、会社の都合でアルバイト扱いに変わる場合、アルバイトを断って転職するのは個人の都合ですか？
この場合、失業保険はどうなるのでしょうか？それとは別に会社の都合で給与を大幅にカットされることになり、その給与で生計をたてるのが困難になり退職する場合は個人の都合でしょうか？この場合の失業保険はどうなりますか？詳しい方、ご回答よろしくお願いします。

両方とも「特定受給資格者」の認定が受けられると思います。
最初のケースの要件として、「労働契約の締結に際し明示された労働条件が事実と著しく相違したことにより離職した者」というのが該当すると思います。
次のケースの要件として「賃金が当該労働者に支払われていた賃金に比べて８５％未満に低下した（又は低下することになった）ため離職した者」に該当すると思います。
ハローワークに認定されればたとえ自己都合退職になったとしても正当な理由のある自己都合退職者として、会社都合退職と同じく３ヶ月の給付制限が付かずに早く受給できます。
でも、本当は会社都合退職にしてもらったほうがいいですね。場合によっては受給できる日数に違いが出ますから。

現在、専業主婦です。雇用保険について教えてください。
子どもが１歳になり、そろそろ、派遣かバイトを始めようと考えています。
東京でOLをしていて、妊娠したことがわかり、主人は静岡だったので、自己都合扱いで会社をやめました。
現在は主人の扶養に入っています。
失業保険の手当をもらいながら、仕事を探そうと考えています。
働き始めるに当り、何点か教えてください。

①失業手当をもらうには、主人の扶養から外れないといけないのでしょうか。
（主人の会社は税制上の扶養に対して、扶養手当が支給されます。失業保険の日額は５９００程度です。）
②手当が支給されるまで、申請して３ヶ月間空白があり、そのあと９０日間支給されると理解してますが
正しいですか？
③もし、扶養から外れないといけない場合、申請してから空白の３ヶ月間も主人の会社の扶養から外れないと
いけないでしょうか。
④申請して、失業保険を９０日間受給、その後バイトで年間１０３万以下で働けば、扶養からは外れなく良いのでしょうか。

①扶養というのは健康保険の扶養ということで回答しますが、基本手当の金額が3612円以上なら収入130万円に縛りがあって抜けなければなりませんが、これはハローワークの関係ではなく、所属している健康保険組合や協会けんぽの規定によります。
ですからその保険者に聞いて指示を受けてください。
健保組合によってはハローワークに申請してから受給が終わるまで扶養を抜けてくださいと言われる場合と、受給期間だけ抜ければいいと言う場合があります。
②はそれで正しいです。空白期間というのは給付制限期間といいます。
③は①の回答と同じです。
④受給中は一旦抜けなければなりませんが、受給後に再度扶養に入りアルバイトをする場合は、過去収入は関係なく今後1年間に収入が130万円以下の見込みになればいいので月間１０８０００以下であれば扶養から抜けなくていいと思います。

失業保険の受給手続きを数か月後にできる？
たとえば、９年間正職員で勤めた会社を２月いっぱいで自己都合で退職するとします。
この時点で、失業保険の受給資格があるとします。

失業保険の受給手続きをせず、その後３月から４月まで週２０時間ほどのアルバイトをします。
でも、やっぱり正社員での仕事に就くため５月から就職活動を開始するとします。

この場合でも、失業保険の受給手続きをしたら失業保険をもらえますか？

＞この場合でも、失業保険の受給手続きをしたら失業保険をもらえますか？

もちろんもらえます。
ただし受給できる期間は退職後１年です、つまり来年の２月末までです。
自己都合ですと７日間の待期期間、３か月の給付制限期間があるので所定給付日数が９０日の場合ですと８月以前に手続きをしないと無効になる部分が発生する場合があります。